Pengantar Turunan (Diferensial) SMA – Bagian I

TURUNAN (DIFERENSIAL)

MATEMATIKA KALKULUS SMA

Jika diperbandingkan perubahan nilai f(x) terhadap perubahan nilai x maka akan didapat :

Jika diambil nilai h (selisih x), mendekati nol (h ® 0), maka  pada x = a dihitung dengan :

Jika nilai limit terdefinisi (ada), maka f(x) dikatakan deferensiable pada x = a dan bentuk limit dinyatakan dengan f’ (a) yaitu :

F’ (a) (dibaca : f aksen a) disebut Turunan atau Derivatif fungsi f(x) pada x = a.

Jika fungsi f(x) diferensiable untuk tiap x dalam daerah asal Df, maka turunan fungsi f(x) untuk tiap nilai x ditentukan dengan rumus :

Keterangan :

1. F’ (x) (dibaca : f aksen x) disebut sebagai fungsi turunan dari f(x) terhadap x
2. F’ (a) dapat diperoleh dengan cara mengganti x dengan a.

Contoh :

Dengan menggunakan rumus umum turunan  carilah turunannya !

a.   f(x) = 4x + 2           c. f(x) = x2 + 3x

b.   f(x) = – x² + 3x – 1 d.

Jawab :

Ingat urutan pengerjaan dalam mencari hasil Turunan fungsi :

1.   Cari f(x + h)

2.   Hitung  f(x + h) – f(x)

3.   Hitung

4. Carilah

1.   Jawaban :

• F(x + h) = 4(x + h) + 2 = 4x + 4h + 2
• F(x + h) – f(x) = 4x + 4h + 2 – (4x + 2)

= 4x + 4h + 2 – 4x – 2 = 4h

2.   Jawaban :

3.   Jawaban :

4.   Jawaban :

RUMUS – RUMUS TURUNAN

A.   TURUNAN FUNGSI KONSTAN, IDENTITAS< PANGKAT

1.   Turunan fungsi konstan (bilangan Real) f(x) = k

F’(x) = 0

Contoh :

F(x) = 3 ® f’ (x) = 0

2.   Jika f(x) = x, maka f’ (x) = 1

3.   Turunan fungsi suatu variable berpangkat f(x) = a xⁿ

F(x) = aXⁿ maka f’ (x) = a.n X^{n – 1}

Contoh :

1.   F(x) = 3x² ® f’ (x) = 3.2 X^2-1 ® f’ (x) = 6x

2.   f(x) = 2x⁵ – 3x² + x + 1

3.   f(x) = 2/x

4.   f(x) = 3/(x2)

5.

B.   TURUNAN HASIL OPERASI FUNGSI

Misalkan U(x) dan V(x) memiliki turunan U’ (x) dan V’ (x)

1.   f(x) = a . U (x) ® f’ (x) = a. U’ (x)

Contoh :

F(x) = 2 (x⁴ + 5) maka f’ (x) = 2. 4x³ = 8x³

U (x)  = (x⁴ + 5)               U’ (x) = 4x³

2.   f(x) = U(x) + V(x) Turunannya f’ (x) = U’ (x) + V’ (x)

Contoh :

F(x) = 2x³ + 5x² ® f’(x) = 6x² + 10x

F(x) = x² +  = f (x) = x² + 2.x^-3 = F’ (x) = 2x – 6x^-4

Latihan / Tugas / PR :

1.   Tentukan f’ (x) dari :

a.   f(x) = – 2×3 + 4×2 – 2x + 6

b.   f(x) = 3x²

c. 

2.   Tentukan f’ (x) dari :

a.   f(x) = 4x^-3 + 2x⁴

b.   f(x) =

c.   f(x) = (2x + 3)²

d.   f(x) =

3.      Tentukan f’ (2) jika :

a.   f(x) = 2x³ – 4x² + 6x

b.

3.   Jika Y = U(x)  Maka Turunannya Y’ (x) = n. U^{n – 1} . U’

Contoh :

a.   F(x) = (2x – 5)²

Jawab :

U = 2x – 5 ®U’ = 2

F’ (x) = 2 (2x – 5) . 2 = 4 (2x – 5)

b.   f(x) = 2 – 3x)²

c.   f(x) = (2x² – 4x)²

d.   f(x) = (3x² – 2)³

4.   Jika Y = U. V  maka Turunannya Y’ = U’ . V + U . V’

Contoh :

Tentukan Y’ dari

a.   Y = (2x – 5) (4 – 3x)

b.   Y (x) = (3×2 – 2x) (1 – 3x)

Jawab :

a.   U(x) = 2x – 5 ® U’ (x) = 2

V(x) = 4 – 3x ® V’ (x) = -3

Y’ (x) = U’V + UV’

Y’ (x) = 2 (4 – 3x) + (2x – 5). -3

Y’ (x) = 8 – 6x – 6x + 15 = -12x + 23

b. Jawaban :

5.   Jika

Contoh :

Tentukan f’ (x) dari :

a.        b. c.  

Jawab :

a.         U = 2x – 4 maka U’ = 2

V = 3x + 2 maka V’ = 3

b.   Jawaban :

c.   Jawaban :

Soal Tantangan :

a.   Y = (2x – 3)³ . (4x² – 2)

b.   Y = (3 – 2x)⁴ . (5x – 4)³

Catatan :

1. Jika maka Turunannya berbentuk :

2, Jika f(x) = Uⁿ dengan U = , maka Turunannya berbentuk :

(Bersambung)

Buat Anto :

Uang Anto dgn uang Budi berbanding 3:4, sedangkan uang Budi dgn uang Cici berbanding 3:4, jumlah uang mereka Rp.185.000.Berapakah jlh uang Cici..?

Jawab :

A : B         = 3 : 4

B : C   =         3 : 4

Kita samakan perbandingan B pada A : B dan B : C

Jadi A : B : C = 9 : 12 : 16

Uang keseluruhan = Rp 185.000

Uang cici = 16/(9+12+16) x Rp 185.000 = 16/37 x Rp 185.000 = Rp 80.000,00

Anda bertanya kami menjawab…

Ada beberapa pertanyaan dari pengunjung saya….(kayanya sih tugas dari sekolah nih….)

1. Joni dan Budi brangkat scra brsamaan dr dua kota yg berbeda. Mreka spakat untuk bertemu diperjalanan. Jika kcepatan Joni adalah 2 km/jam lbh cepat dari kecepatan Budi, mreka akan bertemu pada 3 jam setelah bragkat. Tetapi jika kecepatan Budi 1 k/jam lbh lmbat dan kcptan Joni adalah 2/3 dr kcepatan sebelumnya, mreeka akan bertemu pada waktu 4 jam stelah brangkat. Brapakah jarak kedua kota tersebut??????????????

Jawab :

Kita misalkan dulu ; Kecepatan Budi = Vb dan kecepatan Joni – Vj

Pd kalimat kedua, dapat kita buat kalimat Matematikanya menjadi :

Vj = Vb + 2 (anggap mereka berangkat pd saaqt bersamaan)

Syarat Bertemu :

Jarak tempuh Joni + Jarak tempuh Budi = Jarak Total

(Vb+2)x3 + Bb x 3 = Stot

6Vb + 6 = Stot …………( Pers 1)

Kalimat berikutnya :

Kecepatan Budi = Vb -1

Kecepatan Joni = 2/3 (Vb + 2)

Dengan rumus yg sama : Sj + Sb = Stot

2/3(Vb + 2) x 4 + (Vb – 1) x 4 = Stot

8/3 Vb + 16/3 + 4Vb – 4 = Stot

20/3 Vb + 4/3 = Stot …….(Pers 2)

Kedua persamaan kita substitusi dimana Stot 1 = Stot 2, sehingga :

6Vb + 6 = 20/3Vb + 4/3

6-4/3 = 20/3Vb – 6Vb (Kedua ruas kita kali 3 u/ menghilangkan penyebut)

18 – 4 = 20Vb – 18 Vb

16 = 2 Vb

Vb = 8 km/jam dan Vj = 10 km/j

Kedua hasil tsb kita masukkan ke pers 1 atau pers 2, (saya pilih pers 1)

6Vb + 6 = Stot

48 + 6 = Stot

Stot = 54 km.

2. A, B, C, dan D adalah bil cacah. Jika AB = 8, BC = 28, CD = 63, BD = 36. Berapakah nilai A, B, C, dan D ?

Jawab :

Soal ini berjenis analisa, sehinggaAB = 8 dan BC = 28, kita bisa memperkirakan jika A = 2 dan B = 4, sehingga C = 7. lalu CD = 63, dengan C = 7, maka D = 9.

3. Umur Juwita adalah 2 kali umur Madonna dan 1/2 umur Bobbi. 22 tahun yang akan datang, umur Bobbi akan menjadi 2 kali umur Madonna. Berapa umur Juwita?

Misalkan umur Juwita sekarang = J (harus dimisalkan sekarang, bukan umur yg akan dtg, atau yg lalu)

Umur Madonna sekrang = M, dan umur Bobbi sekarang = B

Dari kalimat pertanma kita dapatkan kalimat matematika : J = 2M + 1/2 B

Kalimat berikutnya : (B + 22) = 2(M + 22)

22 + B = 2M + 44

B = 22 + 2M….(kita substitusi ke pers 1)

J = 2M + 1/2 B

J = 2M + 1/2 (22 + 2M)

J = 2M + 11 + M

J = 3M + 11

Harusnya di soal ini disebutkan jumlah nilai umur mereka 22 tahun kemudian, atau ada nilai tahun dari salah satu umur ketiganya, sehingga umur Juwita tepatnya bisa ketemu….(Soal kurang lengkap)

4. Sbuah bak dpt diisi penuh dengan air mggnkan pipa dg debit 20 liter per menit. Pipa yg lbh bsar dg debit 25 lter permenit akn memerlukan wkt 1 menit lbh cpat untuk mngisi pnuh bak tersebut. Brapa mnt yg dperlukan oleh pipa yg lbh kcil untuk mngisi pnuh bak tersebut???????????

Jawab :

Misalkan waktu untuk mengisi bak oleh pipa A(20 l/mnt) = x menit,waktu yang dibutuhkan untuk mengisi bak oleh pipa B (25l/mnt) = (x – 1) menit.

Maka kemampuan mengisi sebuah bak dapat dilakukan oleh pipa A dan pipa B hanya waktulah yg membedakan sehingga :

20x = 25(x – 1)

20x = 25x – 25

5x = 25

x = 5 menit.

jadi waktu yg dibutuhkan pipa A untuk mengisi bak adalah 5 menit.

5. Mungkinkah bilangan 45 dibagi mnjd dua bagian sdmkian shgga 4 kali bagian pertama adalah 9 kurangnya dari 5 kali bagian kedua???

Jawab :

Misalkan Bagian pertma = A, bagian kedua = B

Kalimat pertama menjadi A + B = 45

Kalimat kedua : 4A = 5B – 9

sehingga kedua persamaan kita eliminasi saja:

A + B = 45 =====> 4A + 4B = 180

4A – 5B = – 9 ====>4A – 5B = – 9

Kita peroleh B = 21 dan A = 24

=================================================

Kunci mengerjakan PSLDV atau PSLSV  pd Bab ini adalah :

1. Buatlah permisalan

2. Bentuklah kalimat Matematika..(ini yg perlu latihan membuat kalimjat Matematika. Penekanannya adalah Guru harus membuat latihan agar murid hrs bisa mambuat kalimat Matematika. Sehingga ngga bingung kaya penanya nih…)

3. Proseslah kedua persamaan itu (bisa dengan Eliminasi, substitusi, atau gabungan substitusi=eliminasi)

4. Bila perlu kedua variabel yg sudah ada nilainya disubstitusikan ke salah satu persamaan untuk memperoleh hasil yg ditanyakan

Semoga tips ini dapat membantu pembaca semua….

==================================================

Tips saya tadi bisa juga di pakai untuk menyelesaikan soal berikut…

6. Pak jalaludin pny uang sejmlh Rp.M..Uang tsb dgnkan untuk mmbyar upah seorang pekerja terlatih slma 40 hr kerja atau untuk mmbyar seorang pkerja pmula slma 60 hr krja. Jika ia mmutuskan untuk mnggnkan kedua pkerja tersebut untuk merenovasi rmhnya, brapa harikah uang sbnyak Rp.M ini dpt dgunakan untk mmbyar kedua pkerja tersebut????

Jawab :

Misalkan pekerja terlatih dihargai Rp x dan pekerja pemula = Rp Y

jadi M = 40x + 60 Y

Tentang berapa hari uang sebesar Rp M digunakan untuk membayar kedua tukang, ya cukup jwbnnya samapai situ…(maklum kurang lengkap soalnya. Jadi soal ini hanya untuk melatih murid bisa menggunakan variabel dalam membuat Kalimat Matematika saja)

7. S’orang pdgang buah apel dgn harga Rp.1500 perbuah. 6 buah diantranya trnyta busuk dan sisanya dijual dg harga Rp.2000. Jika laba yg dperoleh adalah Rp. 40000. tentukan bnyk apel yg d blinya???????????

Jawab :

Kayanya soal di kaimat pertama berbunyi :

Seorang pedagang membeli buah seharga Rp 1500/buah. Misalkan ia membeli sebanyak X buah.

Harga Jual (HJ)  = 2000 (X -6) dengan Untung Rp 40.000,00

Karena HJ = HB + Untung, maka

2000(X – 6) = 1500X + 40.000

Diperoleh X = 14 buah.

(Mudah bukan..?)

8. sEbuah blngan adalah 5 kali blngan yg lain. Dgn mnmbahkan 8 pada setiap blngan, blngn pertama hny mjd 3 kali blngan kedua.

Jawab :

Misalkan Bilangan pertama = X, bilangan kedua = Y

Pers 1 X = 5y

pers 2 x + 8 = 3 (Y + 8)

Silahkan hitung sendiri X dan Y nya…

9. seseorang bepergian dari A mnju B dg kcptn 4 km/jm dan dari B ke A dg kcptn 6 km/jm.jika total lama prjalanan adalah 45 mnit. TENTUKAN JRAK YG DTEMPUH ORG ITU

Disini tA + tB = 3/4 jam (misalkan tA = x, dan tB = 3/4 – x)

sA = 4x dan Sb = 6(3/4 – x)…sama kasusunya soal ini hanya untuk membentuk kalimat Matematika saja)

10. Pada sebuah restoran cepat saji, untuk setiap 3 orang yg memesan ayam goreng, trdpt 5 orang yg memesan pie apel. jmlh org yg memesan ayam goreng adalah 5 lbihnya dari jmlh org yg memesan pie apel. Jika total jumlah pmesan adalah 1678, brapa bnyk org yg mmesan pie apel???

Jawab :

Misalkan yg memesan ayam goreng sebanyak X orang

Yg memesan pie sebanyak X – 5, karena dikatakan yg pesan ayam goreng 5 lebihnya dari jml org yg pesan pie.

Sehingga X + (X – 5) = 1678. Silahkan hitung sendiri..

Semoga jawaban saya yg beberapa soal ini dapat dimengerti dan untuk latihan sisa pertanyaan bisa kamu selesaikan sendiri. Pasti bisa….

Ask n Answer….

A few days ago, somebody, Ask me, how to solve thsi exercise…

And this is the answer….

Remember the formula :

I hope yu can understand my problem solving….

Ask – Answer….

pak, minta tolong u soal berikut dönk.
1. keliling sebuah persegi panjang 120cm. perbandingan pjg dg lebar adl. 3:2. luas persegi pjg tsb adlh?.

2. sebuah limas alasnya brbtk jajaran genjang yg alas dan tingginya msg2 12cm dan 10cm. jika volume limas 600cm3, mk tinggi limas adl?. trimakasih

Jawab :

1.   Kell = 2(p + l)

120 = 2(3x + 2x)……(sekarang tiap ruas kita bagi 2)

60 = 5x

x = 12….Jadi panjang = 3x = 3(12) = 36 cm

Lebar = 2x = 2(12) = 24 cm

2.   Luas alas Limas = Luas jajar genjang = alas x tinggi = 12 x 10 = 120 cm2.

Volume Limas = 1/3 Luas alas x tinggi

600 = 1/3 x 120 x t

600 = 40 x t

t = 15 cm.

Semoga penjelasannya dapat mudah dimengerti…..

Terima kasih kembali untuk sdr Dwi