Pengantar Turunan (Diferensial) SMA – Bagian I

TURUNAN (DIFERENSIAL)

MATEMATIKA KALKULUS SMA

Jika diperbandingkan perubahan nilai f(x) terhadap perubahan nilai x maka akan didapat :

Jika diambil nilai h (selisih x), mendekati nol (h ® 0), maka  pada x = a dihitung dengan :

Jika nilai limit terdefinisi (ada), maka f(x) dikatakan deferensiable pada x = a dan bentuk limit dinyatakan dengan f’ (a) yaitu :

F’ (a) (dibaca : f aksen a) disebut Turunan atau Derivatif fungsi f(x) pada x = a.

Jika fungsi f(x) diferensiable untuk tiap x dalam daerah asal Df, maka turunan fungsi f(x) untuk tiap nilai x ditentukan dengan rumus :

Keterangan :

1. F’ (x) (dibaca : f aksen x) disebut sebagai fungsi turunan dari f(x) terhadap x
2. F’ (a) dapat diperoleh dengan cara mengganti x dengan a.

Contoh :

Dengan menggunakan rumus umum turunan  carilah turunannya !

a.   f(x) = 4x + 2           c. f(x) = x2 + 3x

b.   f(x) = – x² + 3x – 1 d.

Jawab :

Ingat urutan pengerjaan dalam mencari hasil Turunan fungsi :

1.   Cari f(x + h)

2.   Hitung  f(x + h) – f(x)

3.   Hitung

4. Carilah

1.   Jawaban :

• F(x + h) = 4(x + h) + 2 = 4x + 4h + 2
• F(x + h) – f(x) = 4x + 4h + 2 – (4x + 2)

= 4x + 4h + 2 – 4x – 2 = 4h

2.   Jawaban :

3.   Jawaban :

4.   Jawaban :

RUMUS – RUMUS TURUNAN

A.   TURUNAN FUNGSI KONSTAN, IDENTITAS< PANGKAT

1.   Turunan fungsi konstan (bilangan Real) f(x) = k

F’(x) = 0

Contoh :

F(x) = 3 ® f’ (x) = 0

2.   Jika f(x) = x, maka f’ (x) = 1

3.   Turunan fungsi suatu variable berpangkat f(x) = a xⁿ

F(x) = aXⁿ maka f’ (x) = a.n X^{n – 1}

Contoh :

1.   F(x) = 3x² ® f’ (x) = 3.2 X^2-1 ® f’ (x) = 6x

2.   f(x) = 2x⁵ – 3x² + x + 1

3.   f(x) = 2/x

4.   f(x) = 3/(x2)

5.

B.   TURUNAN HASIL OPERASI FUNGSI

Misalkan U(x) dan V(x) memiliki turunan U’ (x) dan V’ (x)

1.   f(x) = a . U (x) ® f’ (x) = a. U’ (x)

Contoh :

F(x) = 2 (x⁴ + 5) maka f’ (x) = 2. 4x³ = 8x³

U (x)  = (x⁴ + 5)               U’ (x) = 4x³

2.   f(x) = U(x) + V(x) Turunannya f’ (x) = U’ (x) + V’ (x)

Contoh :

F(x) = 2x³ + 5x² ® f’(x) = 6x² + 10x

F(x) = x² +  = f (x) = x² + 2.x^-3 = F’ (x) = 2x – 6x^-4

Latihan / Tugas / PR :

1.   Tentukan f’ (x) dari :

a.   f(x) = – 2×3 + 4×2 – 2x + 6

b.   f(x) = 3x²

c. 

2.   Tentukan f’ (x) dari :

a.   f(x) = 4x^-3 + 2x⁴

b.   f(x) =

c.   f(x) = (2x + 3)²

d.   f(x) =

3.      Tentukan f’ (2) jika :

a.   f(x) = 2x³ – 4x² + 6x

b.

3.   Jika Y = U(x)  Maka Turunannya Y’ (x) = n. U^{n – 1} . U’

Contoh :

a.   F(x) = (2x – 5)²

Jawab :

U = 2x – 5 ®U’ = 2

F’ (x) = 2 (2x – 5) . 2 = 4 (2x – 5)

b.   f(x) = 2 – 3x)²

c.   f(x) = (2x² – 4x)²

d.   f(x) = (3x² – 2)³

4.   Jika Y = U. V  maka Turunannya Y’ = U’ . V + U . V’

Contoh :

Tentukan Y’ dari

a.   Y = (2x – 5) (4 – 3x)

b.   Y (x) = (3×2 – 2x) (1 – 3x)

Jawab :

a.   U(x) = 2x – 5 ® U’ (x) = 2

V(x) = 4 – 3x ® V’ (x) = -3

Y’ (x) = U’V + UV’

Y’ (x) = 2 (4 – 3x) + (2x – 5). -3

Y’ (x) = 8 – 6x – 6x + 15 = -12x + 23

b. Jawaban :

5.   Jika

Contoh :

Tentukan f’ (x) dari :

a.        b. c.  

Jawab :

a.         U = 2x – 4 maka U’ = 2

V = 3x + 2 maka V’ = 3

b.   Jawaban :

c.   Jawaban :

Soal Tantangan :

a.   Y = (2x – 3)³ . (4x² – 2)

b.   Y = (3 – 2x)⁴ . (5x – 4)³

Catatan :

1. Jika maka Turunannya berbentuk :

2, Jika f(x) = Uⁿ dengan U = , maka Turunannya berbentuk :

(Bersambung)